Олимпиадная задача: биссектрисы и ортоцентр в треугольнике

Заметим, что $A$– ортоцентр треугольника $BHC$. Поэтому можно, поменяв роли точек $A$ и $H$, переформулировать задачу.

Пусть $H$ – ортоцентр неравнобедренного треугольника $ABC$. Биссектриса угла $A$ пересекает высоты $BH$, $CH$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Перпендикуляры, восставленные к $BH$ и $CH$ из $P$ и $Q$, пересекаются в точке $K$. Докажите, что $AK$ делит пополам отрезок $BC$.

Пусть $M$ – середина хорды $BC$, а $S$ и $T$ – середины дуг $BAC$ и $BC$ окружности $ABC$. Тогда $T$ лежит на прямой $APQ$ и надо доказать, что $A$, $K$, $M$ лежат на одной прямой.

Пусть $L$ – точка пересечения $KH$ и $PQ$, $N$ – проекция $M$ на прямую $APQT$, а $R$ – точка пересечения $AH$ и $MN$ (см. рис.). Легко видеть, что $HPKQ$ и $SBTC$ – подобные дельтоиды, а $L$, $M$ – точки пересечения их диагоналей. Поэтому $HL:LK=SM:MT$. Так как $AS\parallel MN$, получаем. что $SM:MT=AN:NT$. Наконец, из параллельности прямых $AHR$ и $SMT$ следует, что $AN:NT=RN:NM$. Тогда, поскольку прямые $HLK$ и $RNM$ параллельны и $HL:LK=RN:NM$, то $A$, $K$, $M$ лежат на одной прямой.