Две окружности и их пересечения: задача о касаниях

Докажем, что они касаются в точке $R$. Заметим, что точки $D_1$, $D_2$, $P$, $R$ лежат на одной окружности, так как $D_1R$ и $D_2R$ – соответствующие линии в подобных треугольниках $A_1RB_1$ и $A_2RB_2$. Пусть касательные к окружностям в точках $A_1$ и $A_2$ пересекаются в точке $X$, а в $B_1$ и $B_2$ в точке $Y$. Заметим, что $\angle A_1XA_2=\angle A_1RA_2$ (углу поворота), следовательно точки $A_1$, $X$, $R$, $A_2$ лежат на одной окружности. Аналогично точки $X$, $R$, $C_1$, $C_2$, $Y$ лежат на одной окружности. Чтобы доказать, что окружности касаются достаточно доказать, что $D_1D_2\parallel C_1C_2$. Имеем $\angle D_1D_2R=\angle D_1PR=\angle RXC_1=\angle RC_2C_1$, следовательно, прямые параллельны, ч.т.д.