Многочлен $P(x, y)$: может ли он иметь нечётную степень?

Пусть наибольшая степень, в которой встречается $x$, равна $m$, а наибольшая степень, в которой встречается $y$, равна $n$, Для определенности положим  $n\geqslant m$.  Запишем многочлен  $P(x, y)$  в виде

 А$(x)y^n + B(x)y^{n-1} + ...$,  где $A(x), B(x)$, ... – многочлены от $x$. Поскольку при всех целых  $0 \leqslant k < n$  степень многочлена  $P(k, y) = А(k)y^n + B(k)y^{n-1} + ...$  меньше $n$, то  $A(0) = A(1) = ... = А(n - 1) = 0$.  У многочлена $A(x)$ есть $n$ различных корней, поэтому его степень не меньше $n$. Но она не больше $m$, значит,  $m = n$.  При этом одночлен $x^ny^n$ заведомо встречается в произведении $А(x)y^n$ и не встречается в остальных произведениях, поэтому  deg $P(x, x) = 2n$.