Олимпиадная задача по теории чисел: делимость чисел и их квадраты

Из условия следует, что  $a_{k+41}^2\equiv a_k^2$ (mod 41²)  (индексы считаем зацикленными, то есть за 1000 следует 1). Значит,  $a_{k+41n}^2\equiv a_k^2$ (mod 41²)  при любом $n$. Так как числа 41 и 1000 взаимно просты, то квадраты всех чисел на круге дают при делении на $41^2$ один и тот же остаток. Следовательно, $41a_k^2$ делится на $41^2$, поэтому $a_k^2$ делится на 41, а поскольку 41 – простое число, то и $a_k$ делится на 41.