Доказательство о луче и кругах в планиметрии

Искомый луч – геометрическое место лежащих внутри угла точек, для которых отношение расстояний до серой и чёрной сторон равно отношению $\frac{r_1}{r_2}$ радиусов серой и чёрной окружностей.

Дальнейшие рассуждения практически повторяют решение задачи 166747. Ясно, что луч $A'A$ содержит указанный выше луч и обладает тем же свойством по отношению к прямым $A'O_{1}$ и $A'O_{2}$. Поэтому этот луч пересекает дугу $O_{1}O_{2}$ в такой точке $K$, что  $O_{1}K : O_{2}K = 2R \sin\angle O_{1}A'K : 2R \sin\angle O_{2}A'K = \sin\angle O_{1}A'K:\sin\angle O_{2}A'K = A'A \sin\angle O_{1}A'K:A'A \sin\angle O_{2}A'K=r_{1} : r_{2}$.