Цифры и делимость: число, кратное 7

Пусть исходное число имеет вид  $\overline{AB}$,  причём $A$ при делении на 7 даёт остаток $r$. Возьмём такую цифру $a$, что  $2r+a$  делится на 7 (она, очевидно, найдётся). Будем делить число вида  $\overline{Aa...aB}$   на 7 в столбик. Когда мы закончим делить $A$, останется остаток $r$. На следующем шаге мы будем делить на 7 число  $10r+a = 7r+(2r+a)+r$,  снова получается остаток $r$. На следующих шагах это повторяется, пока мы не дойдём до деления на 7 числа  $\overline{rB}$,  которое кратно 7 по условию.