Задание олимпиады: Делимость чисел $m$ и $n$

Решение 1:Пусть  $d = НОД(m, n), m = ad, n = bd$.  По условию, $abd^2$ делится на  $d(a + b)$,  откуда $abd$ делится на  $a + b$.  Но так как числа $a$ и $b$ взаимно просты, каждое из них взаимно просто с  $a + b$.  Значит, $d$ делится на  $a + b$,  откуда $d^2$ делится на  $d(a + b) = m + n$  и, следовательно,  $d^2 \geqslant m+n$.  Осталось заметить, что  $n^2 \geqslant d^2$.

Решение 2:Поскольку  $n^2 = n(m + n)- mn$,  из условия следует, что $n^2$ делится на  $m + n$.  Значит,  $n^2 \geqslant m + n$.