Равенство трех чисел в задаче по делимости

Решение 1:Пусть эти числа $x, y, z$. Докажем, что любое простое число $p$ входит в разложение каждого числа в одной и той же степени – это и будет значить, что числа равны. Пусть $p$ входит в $x$ в степени $\alpha$, в $y$ – в степени $\beta$, в $z$ – в степени $\gamma$. Можно считать, что  $\alpha \leqslant \beta \leqslant \gamma$.  Из того, что $x$ делится на  НОД($y, z$),  имеем  $\alpha \geqslant \beta$,  а из того, что  НОК($x, y$) делится на $z$, имеем  $\beta \geqslant \gamma$.  Значит,  $\alpha = \beta = \gamma$,  что и требовалось.

Решение 2:   Пусть $d$ – наибольший общий делитель всех трёх чисел, а они равны $xd, yd, zd$. Тогда $x, y$ и $z$ взаимно просты в совокупности.

  Предположим, что $x$ делится на простое число $p$. Так как  $[y, z]d$   делится на $xd$, то делится и на $pd$. Значит, $y$ или $z$ делится на $p$. Пусть это $y$. Так как $zd$ делится на  $(x, y)d,$  то делится и на $pd$. Следовательно, $x, y$ и $z$ делятся на $p$. Противоречие.

  Таким образом,  $x$ = 1.  Аналогично  $y = z$ = 1,  то есть исходные числа равны $d$.