Оптимизация параметров четырехугольника ABCD

Решение 1:Пусть $AC \cap BD = O$. Будем считать, что $\angle AOB \ge 90^\circ$. Пусть $E$ – четвертая вершина параллелограмма $BECD$ (см.рис.).Мы имеем $$AC \cdot BD \ge 2S_{ABCD} = r \cdot P_{ABCD} = 2r \cdot (AB + CD).$$ Кроме того, $$AB + CD = AB + BE \ge AE$$ и (так как $\angle ECA\geq 90^{\circ}$) $$AE^2 \ge AC^2 + CE^2 = AC^2 + BD^2.$$

Отсюда получаем $$AC^2 \cdot BD^2 \ge 4r^2 \cdot (AC^2 + BD^2) \Rightarrow \frac{1}{AC^2} + \frac{1}{BD^2} \le \frac{1}{4r^2}.$$

Равенство достигается при $AC \cdot BD = 2S_{ABCD} \Leftrightarrow AC \perp BD$ и $AB + BE = AE \Leftrightarrow AB | CD$, т.е. когда $ABCD$ – ромб.

Решение 2:Будем деформировать $ABCD$, сохраняя вписанную окружность и уменьшая диагонали.

Пусть окружность $\omega$ с центром $I$ вписана в $ABCD$. Зафиксируем $\omega$, прямую $l$, проходящую через $A$ и $C$, и параллельную ей прямую $m$, проходящую через $B$. Посмотрим, как меняется длина $AC$ при перемещении $B$ по $m$.

Пусть касательная $n$ к $\omega$, лежащая между $l$ и $m$ и параллельная им, пересекает $AB$ и $BC$ в точках $P$ и $Q$, окружность $\omega'$ с центром $I'$ и радиусом $r'$ вписана в треугольник $PBQ$.

При изменении $B$ коэффициент подобия треугольников $PBQ$ и $ABC$ остается постоянным. Поэтому отношения $PQ : AC$, $r' : r$, а значит, и $r'$, также постоянны. Поскольку $PQ$ равно общей внешней касательной к $\omega'$ и $\omega$, а $r'$ и $r$ фиксированы, длина $PQ$ минимальна при кратчайшем расстоянии $II'$, т.е. при $BI \perp l$. Так как $PQ : AC$ фиксировано, длина $AC$ минимальна в этом же случае.

Передвинем $B$ вдоль $m$ в точку $B_1$, для которой $IB_1 \perp l$, затем передвинем $IB_1$ в направлении $I$ до точки $B_2$, для которой длина $A_2C_2$ равна исходной длине $AC$. Аналогично поступим с точкой $D$. Тогда $A_2B_2C_2D_2$ – четырехугольник, описанный вокруг $\omega$ и симметричный относительно $B_2D_2$, причем $A_2C_2 = AC$ и $B_2D_2 \le BD$.

Поступив аналогично с $A_2$ и $C_2$, получим описанный около $\omega$ ромб $A_3B_3C_3D_3$, в котором $A_3C_3 \le AC$ и $B_3D_3 \le BD$. Для него $$\frac{1}{A_3C_3^2} + \frac{1}{B_3D_3^2} = \frac{1}{4r^2},$$ причем, если $A_3B_3C_3D_3 \neq ABCD$, то хотя бы одно из неравенств $A_3C_3 \le AC$ и $B_3D_3 \le BD$ – строгое.