Задание по олимпиадной математике: Хорда окружности в прямоугольном тр

Пусть $I$ – центр вписанной окружности, $P$, $Q$ – проекции точек $I$, $C$ соответственно на $AK$ (см. рис.). Так как $\angle IKC=90^{\circ}$, $\angle ICK=45^{\circ}$, треугольник $IKC$ – равнобедренный, т.е. $IK=KC$. Кроме того, $\angle IKP=\angle KCQ$, поскольку соответствующие стороны этих углов перпендикулярны. Следовательно, треугольники $IKP$ и $KCQ$ равны, т.е. $KP=CQ$. Но $P$ – середина хорды, высекаемой в окружности прямой $AK$, откуда и следует утверждение задачи.