Доказательство равенства отрезков в равносторонних треугольниках

Прежде всего, заметим, что треугольники $ACD$ и $BCE$ равны, поскольку $AC=BC$, $CD=CE$ и $\angle ACD=\angle BCE=120^{\circ}$. Кроме того, так как $\angle BFC=120^{\circ}$ и $\angle CFE=60^{\circ}$, точка $F$ лежит на отрезке $BE$. Наконец, треугольник $O_1CO_2$ подобен треугольнику $ACD$, следовательно, $\angle CO_1K=\angle CAK$, т.е. точки $A$, $O_1$, $K$ и $C$ лежат на одной окружности (см. рис.). Поэтому $$\angle ACK=180^{\circ}-\angle AO_1K=60^\circ-\angle CO_1K=60^{\circ}-\angle CBF=\angle BCF,$$ что равносильно утверждению задачи.