Задача № 216855
В трапеции ABCD основание BC в два раза меньше основания AD. Из вершины D опущен перпендикуляр DE на сторону AB. Докажите, что СЕ = CD.
Москвитин Н. А.
24 задачЗадача № 216149
Дан квадрат ABCD. На стороне AD внутрь квадрата построен равносторонний треугольник ADE. Диагональ AC пересекает сторону ED этого треугольника в точке F. Докажите, что CE = CF.
Задача № 215976
Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Доказать, что конец D отрезка BD, выходящего из вершины B, параллельного основанию и равного боковой стороне треугольника, является центром вневписанной окружности треугольника.
Задача № 215974
Даны две окружности, касающиеся друг друга внутренним образом в точке A); из точки B большей окружности, диаметрально противоположной точке A, проведена касательная BC к меньшей окружности. Прямые BC и AC пересекает большую окружность в точках D и E соответственно. Докажите, что дуги DE и BE равны.
Задача № 215958
Диагонали AC и BD равнобедренной трапеции ABCD пересекаются в точке O; известно также, что в трапецию можно вписать окружность. Докажите, что ∠BOC > 60°.
Задача № 215955
Вокруг равнобедренного треугольника ABC с основанием AC описана окружность ω. Точка F – ортоцентр треугольника ABC; продолжение высоты CE пересекает ω в точке G. Докажите, что высота AD является касательной к описанной окружности треугольника GBF.
Задача № 215951
В треугольнике ABC высота BD образует со стороной BC угол в 45°. Считается, что прямая BD, содержащая высоту, уже построена. Как одним движением циркуля построить ортоцентр треугольника ABC?
Задача № 167207
Диагонали прямоугольника пересекаются в точке . Окружность с центром в точке лежит внутри прямоугольника. Из вершин , , проведены касательные к окружности , , , причем пересекает в точке , пересекает в точке , а прямые и пересекаются в точке . Докажите, что отрезок перпендикулярен .
Задача № 167088
В прямоугольном треугольнике с прямым углом проведена высота . На отрезках и построены равносторонние треугольники и , так что точка лежит в той же полуплоскости относительно прямой , что и , а точка лежит в той же полуплоскости относительно прямой , что и . Прямая пересекает катет в точке . Докажите, что .
Задача № 167086
В треугольнике точки и – центр описанной окружности и ортоцентр соответственно. Известно, что – биссектриса угла . Отрезок из точки , параллельный стороне , пересекает сторону в точке . Докажите, что .
Задача № 166915
Дан прямоугольный треугольник с прямым углом , вне треугольника взята точка , так что и отрезок пересекает гипотенузу в точке . Известно, что расстояние от точки до катета равно радиусу описанной окружности треугольника . Найдите углы треугольника .
Задача № 166667
Около прямоугольника описана окружность. На меньшей дуге окружности взята произвольная точка . К окружности проведена касательная в точке , пересекающая прямую в точке . Отрезки и пересекаются в точке . Докажите, что прямые и перпендикулярны.
Задача № 166646
У равносторонних треугольников и вершина лежит на отрезке , вершины и по одну сторону от этого отрезка. Описанные около треугольников окружности с центрами и повторно пересекаются в точке . Прямая пересекает в точке . Докажите, что .
Задача № 166643
Дан вписанный четырехугольник . Прямые и пересекаются в точке , а прямые и — в точке . В треугольнике отмечен центр вписанной окружности , а из точки проведен луч, перпендикулярный биссектрисе угла . В каком отношении этот луч делит угол ?
Задача № 166235
В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD диагонали AC и BD перпендикулярны. Из точки D опущен перпендикуляр DE на сторону AB, а из точки C – перпендикуляр CF на прямую DE. Докажите, что ∠DBF = ½ ∠FCD.
Задача № 166230
На стороне AD квадрата ABCD во внутреннюю сторону построен тупоугольный равнобедренный треугольник AED. Вокруг него описана окружность и проведён её диаметр AF, на стороне CD выбрана точка G так, что CG = DF. Докажите, что угол BGE меньше половины угла AED.
Задача № 166217
На окружности радиуса R с диаметром AD и центром O выбраны точки B и С по одну сторону от этого диаметра. Около треугольников ABO и CDO описаны окружности, пересекающие отрезок BC в точках F и E. Докажите, что AF·DE = R².
Задача № 166209
Дан четырёхугольник ABCD, в котором AC = BD = AD; точки E и F – середины AB и CD соответственно; O – точка пересечения диагоналей четырёхугольника. Докажите, что EF проходит через точки касания вписанной окружности треугольника AOD с его сторонами AO и OD.
Задача № 165806
Вокруг прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C описана окружность, на меньших дугах AC и BC взяты их середины – K и P соответственно. Отрезок KP пересекает катет AC в точке N. Центр вписанной окружности треугольника ABC – I. Найти угол NIC.
Задача № 164880
Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой AC, проведена биссектриса треугольника BD; отмечены середины E и F дуг BD окружностей, описанных около треугольников ADB и CDB соответственно (сами окружности не проведены). Постройте одной линейкой центры окружностей.
Задача № 164866
Вокруг равнобедренного треугольника ABC с основанием AB описана окружность и в точке B проведена касательная к ней. Из точки C проведён перпендикуляр CD к этой касательной, также проведены высоты AE и BF. Докажите, что точки D, E, F лежат на одной прямой.
Задача № 164864
Дан прямоугольный треугольник ABC. На катете AB во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник ADB, а на гипотенузе AC во внутреннюю сторону – равносторонний треугольник AEC. Прямые DE и AB пересекаются в точке M. Весь чертёж стерли, оставив только точки A и B. Восстановите точку M.
Задача № 164455
В треугольнике ABC AB = BC. Из точки E на стороне AB опущен перпендикуляр ED на BC. Оказалось, что AE = ED. Найдите угол DAC.
Задача № 164385
В пятиугольнике ABCDE углы ABC и AED – прямые, AB = AE и BC = CD = DE. Диагонали BD и CE пересекаются в точке F. Докажите, что FA = AB.