Математическая задача по делимости: олимпиада

Первое решение. Раскроем скобки в каждом из выражений: $$(a-b)(c-d)=ac-ad-bc+bd;$$ $$(a-c)(b-d)=ab-ad-bc+cd;$$ $$(a-d)(b-c)=ab-ac-bd+cd.$$ Теперь несложно заметить, что $$(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)-(a-b)(c-d),$$ откуда сразу следует утверждение задачи: разность двух чисел, делящихся на $n$, делится на $n$. Второе решение. Заметим, что если из каждого из чисел $a$, $b$, $c$, $d$ вычесть одно и то же число, то значения их попарных разностей не изменятся.

Поэтому вычитая, если нужно, из всех чисел $d$, можно считать, что $d=0$. Таким образом, достаточно доказать, что если $(a-b)c$ и $(a-c)b$ делятся на $n$, то на $n$ делится и $a(b-c)$.

Это можно сделать так же, как и в первом решении, но мы воспользуемся сравнениями по модулю: первое условие говорит нам, что $ac\equiv bc\pmod n$, второе — что $ab\equiv bc\pmod n$, откуда $ab\equiv bc\equiv ac\pmod n$, т.е. $ab\equiv ac\pmod n$, что и требовалось доказать.