Цифры и делимость: доказательство для чисел

Первое решение. Пусть $a$ и $b$ — числа, стоящие слева и справа от курсора соответственно, и число $b$ состоит из $n$ цифр. Тогда по условию $10^n a + b$ делится на 7. Если между числами $a$ и $b$ вставить одну цифру $x$, то получим число $10^{n+1}a+10^n x+b$. Можно подобрать эту цифру так, чтобы это число также делилось на 7, так как при $x=0,1,2,\ldots,6$ такие числа имеют различные остатки при делении на 7.

По индукции докажем, что если вставить $m$ цифр $x$, $m\geqslant 1$, то получившееся число также будет делиться на 7. База индукции ($m=1$) проверена выше. Для шага индукции достаточно доказать, что разность $$\overline{a{\underbrace{xx\ldots x}{m+1,\text{раз}}}b} -\overline{a{\underbrace{xx\ldots x}{m,\text{раз}}}b} делится на 7, где $\overline{ab}$ означает число, составленное из последовательно приписанных друг к другу записей чисел (цифр) $a$ и $b$. Эта разность при некотором $k>m$ равна 10^{k+1}a-10^k(x-a)=10^{k-m}(10^{m+1}a+10^m x-10^m a)$$ и имеет тот же остаток при делении на 7, что и число $10^{k-m}(10^{m+1}a+10^m x+b)$, а последнее делится на 7 по предположению индукции. Второй способ.Пусть $a$ и $b$ — те же, что и в первом способе. После вставки $m$ цифр $x$ полученное число имеет вид $$ a\cdot 10^{m+n}+\overline{\underbrace{xx\ldots x\vphantom{b}}{m,\text{раз}}}\cdot 10^{n}+b. $$ Подберем цифру $x$ так, чтобы при любом $m\in\mathbb{N}$ это число делилось на 7. Вычтем из него по условию делящееся на 7 число $10^{n}a+b$. Получим число \begin{align*} &10^n(10^m-1)a+\overline{\underbrace{xx\ldots x\vphantom{b}}{m,\text{раз}}}\cdot 10^{n}=\ =&10^n(10^m-1)a+10^nx\cdot\frac{10^m-1}{9}=\=&10^{n}(9a+x)\cdot \frac{10^m-1}{9}. \end{align*} Цифру $x$ можно подобрать в зависимости от остатка от деления числа $a$ на 7 так, чтобы число $2a+x$, а значит и $9a+x$, делилось на 7. Это соответствие можно указать явно с помощью следующей таблицы:

1 Класс 11 задача Номер 2

[Пишите нам](https://problems.ru/feedback.php) [](https://problems.ru/editor/login.php) Проект осуществляется при поддержке [Департамента образования г.Москвы](http://www.educom.ru) и ФЦП "Кадры" .