Олимпиадная задача по планиметрии с треугольниками

Заметим, что $OA$ касается описанной окружности треугольника $AXY$, так как $$\angle BAO = 90^{\circ} - \angle C = \angle MYC = \angle XYA.$$

Пусть $F$ — точка на окружности, описанной около $ABC$, такая что $AF \perp BC$. Ясно, что \begin{align*} \angle AEF &= \angle AEB + \angle BEF =\ &= \angle ACB + \angle BAF = \ &= \angle ACD + \angle DAC =\ &= \angle ADM = \angle AEM. \end{align*}

Получаем, что $E$, $M$ и $F$ лежат на одной прямой. Кроме того, $\angle MEC = \angle FEC = \angle FAC = \angle MYC$, что значит, что $E$, $Y$, $M$ и $C$ лежат на одной окружности. Далее, \begin{align*} \angle AEY &= \angle AEC - \angle YEC =\ &= 180^{\circ} - \angle ABC - \angle YMC = \ &= 90^{\circ} - \angle ABC = \angle AXY, \end{align*} т.е. $E$ лежит на описанной окружности треугольника $AXY$. Тогда $OE$ — касательная, так как $OE=OA$ и $OA$ — касательная к окружности $AXY$.