Математическая задача о треугольнике ABC для Соколова

Первое решение. Отметим середины $M$ и $N$ сторон $BC$ и $AC$ соответственно. Заметим, что треугольник $BHC$ — прямоугольный, а точка $M$ — середина его гипотенузы $BC$. Значит, $MB = MC = MH$. Поскольку точки $H$ и $P$ симметричны относительно прямой $MN$, то $MH = MP$. Следовательно, точки $B$, $H$, $P$, $C$ лежат на одной окружности с центром в точке $M$. Отсюда $\angle PBC = \angle PHC$, так как эти углы опираются на одну дугу $PC$.

Обозначим точку пересечения прямых $PH$ и $AB$ через $X$. Заметим, что $PH \perp MN$ из-за симметрии точек $H$ и $P$ относительно прямой $MN$. Кроме того, $MN \parallel AB$ как средняя линия треугольника $ABC$. Таким образом, $PH \perp AB$. Отсюда следует, что $ \angle PBC = \angle PHC = \angle AHX = 90^\circ - \angle BAC$.

С другой стороны, заметим, что если точка $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$, то $\angle BOC = 2 \angle BAC$ как центральный угол, и из суммы углов равнобедренного треугольника $BOC$ получаем, что $\angle OBC = 90^\circ - \angle BAC$. Имеем $\angle OBC = \angle PBC$, а значит, точки $B$, $O$ и $P$ действительно лежат на одной прямой.

Второе решение. Воспользуемся теоремой о прямой Штейнера.

Прямая Штейнера. Точки, симметричные произвольной точке $L$ описанной окружности треугольника $MNK$ относительно его сторон, лежат на одной прямой, проходящей через ортоцентр (точку пересечения высот) треугольника $MNK$.

Несложно заметить, что точка $H$ лежит на окружности, проходящей через середины сторон треугольника $ABC$ (это окружность девяти точек треугольника $ABC$). По условию точка $P$ симметрична точке $H$ относительно средней линии, параллельной стороне $AB$. Заметим, что точка $B$ симметрична точке $H$ относительно средней линии, параллельной стороне $AC$. Получается, что прямая $BP$ — это прямая Штейнера точки $H$ относительно серединного треугольника (треугольника, образованного серединами сторон треугольника $ABC$). Тогда на этой прямой лежит ортоцентр серединного треугольника, который и является центром описанной окружности треугольника $ABC$.