Многочлены и их корни: Олимпиадная задача для 8-11 классов

а) Для многочлена $P(x)=x^2-x$ имеем \begin{align*} P(x)P(x+1)&=(x^2-x)((x+1)^2-x-1)=\&=x^2(x+1)(x-1)=x^4-x^2=P(x^2). \end{align*}

б) Первое решение. Из условия следует, что многочлен $P(x)$ раскладывается на линейные множители. Пусть $$P(x)=a(x-x_1)\ldots (x-x_n).$$ Тогда корнями многочлена $P(x)P(x+1)$ являются числа $x_1,\ldots,x_n$, $x_1-1,\ldots,x_n-1$. При этом многочлен $$P(x^2+1)=a(x^2+1-x_1)\ldots(x^2+1-x_n)$$ также должен раскладываться на линейные множители, поэтому $x_k\geqslant 1$, $k=1,\ldots,n$. Множество его корней $\pm\sqrt{x_k-1}$, $k=1,\ldots,n$, должно совпадать с множеством корней многочлена $P(x)P(x+1)$. Пусть $x_m$ — наибольшее из чисел $x_k$, $k=1,\ldots,n$, т.е. наибольший из корней многочлена $P(x)P(x+1)$. Тогда число $\sqrt{x_m-1}$ является наибольшим из корней многочлена $P(x^2)$. Но $\sqrt{x_m-1} < x_m$, так как $x_m^2-x_m+1 > 0$. Следовательно, совпадение множеств корней многочленов $P(x)P(x+1)$ и $P(x^2)$ невозможно. Второе решение. Если такой многочлен $P(x)$ существует, то он имеет хотя бы один действительный корень. Пусть $x_0$ — наибольший из его корней. Тогда из условия получаем, что $P(x_0^2+1)=P(x_0)P(x_0+1)=0$, т.е. число $x_0^2+1$ также является корнем многочлена $P(x)$. Но $x_0^2+1>x_0$, что противоречит максимальности корня $x_0$. Следовательно, такого многочлена не существует. Комментарий. Пользуясь методами решения п. б), можно показать, что множеством корней многочлена $P(x)$, удовлетворяющего при всех действительных $x$ равенству из п. а), может быть только множество ${0, 1}$. Таким образом, приведённый в решении п. а) пример — единственный возможный.