Графики квадратного трёхчлена: Задача по олимпиадной математике

Первое решение. Прямая, являющаяся графиком производной $y=2ax+b$ квадратного трёхчлена, касается параболы $y=ax^2+bx+c$: если они не пересекаются, то разбивают координатную плоскость на три части, а если пересекаются в двух точках, то разбивают плоскость на пять частей.

Из условия касания графиков получаем, что дискриминант уравнения $$ax^2+bx+c=2ax+b$$ равен нулю, т.е. $(b-2a)^2-4a(c-b)=b^2+4a^2-4ac=0$, откуда дискриминант квадратного трёхчлена $ax^2+bx+c$ равен $$D=b^2-4ac=-4a^2 < 0,$$ поэтому трёхчлен не имеет корней.

Второе решение. Так же, как и в предыдущем способе, устанавливаем факт касания графиков трёхчлена и его производной. Заметим, что производная пересекает ось абсцисс (меняет знак) в точке, абсцисса которой равна абсциссе вершины параболы. Следовательно, если ветви параболы направлены вверх, то вершина параболы лежит выше оси абсцисс, а если вниз, то ниже оси абсцисс. В обоих случаях квадратный трёхчлен корней не имеет.