Задание по олимпиадной математике: Знаки произведения

Докажем, что на нечетных местах стоят отрицательные числа, а на четных – положительные. Тогда произведение всех чисел будет отрицательным, поскольку перемножаем 41 отрицательное число и 40 положительных чисел.

Пусть выписаны числа a₁, a₂, ..., a₈₁ . Заметим, что если выкинуть произвольное число a_{2k + 1} с нечетным номером, то остальные разбиваются на пары соседних: {a₁, a₂}, ..., {a_{2k – 1}, a_2k}, {a_{2k + 2}, a_{2k + 3}}, ..., {a₈₀, a₈₁}.

Значит, сумма всех остальных чисел положительная, но с добавлением a_{2k + 1} она становится отрицательной, то есть a_{2k + 1}<0 . Поскольку a_2k+a_{2k + 1}>0 , то a_2k>0 . Наше утверждение доказано.