Последовательности из единиц и минус единиц и сумма 2017

  Достаточно найти сумму указанного вида, чей модуль не меньше 2017: так как все слагаемые по модулю равны 1, в ней есть подсумма нужного вида с модулем ровно 2017.

  Заметим, что если  $a_i = a_j$  (где  $i< j$),  то  $a_i a_{i+1}...a_{j-1} = a_{i+1}a_{i+2}...a_{j}$.

  Рассмотрим все наборы вида  $(a_i, a_{i+1}, ... ,a_{i+4031})$.  Поскольку их бесконечное число, среди них найдутся два одинаковых. Пусть это наборы, начинающиеся с $a_i$ и $a_j$  $(i < j)$.  Тогда  $a_ia_{i+1}...a_{j-1} = a_{i+1}a_{i+2}...a_{j} = a_{i+4032}a_{i+4033}...a_{j+4031}$.  Разберём случай, когда все эти 4033 произведения равны 1.

  Положим  $k = j - i - 1$,  $S_n = a_0a_1...a_k + a_1a_2...a_{k+1} + ... + a_na_{n+1}...a_{n+k}$.  Если  $S_{i-1} \leqslant -2017$,  то $S_{i-1}$ – искомая сумма. В противном случае,  $S_{i+4032} \geqslant 2017$  и $S_{i+4032}$ – искомая сумма.