Доказательство касания окружностей в треугольниках

Проведём в общей точке $A$ этих окружностей касательные $l$ и $m$ соответственно. Угол между $l$ и хордой $AB$ равен $\angle C$. Угол между $m$ и хордой $AL$ равен  $\angle AKL = \angle KAC + \angle KCA = 2\angle KCA = \angle C$.  Следовательно, прямые $l$ и $m$ совпадают, что и требовалось.