Задание олимпиады по планиметрии: перпендикуляры в четырехугольнике AB
На диагонали AC вписанного четырёхугольника ABCD взяли произвольную точку P и из неё опустили перпендикуляры PK, PL, PM, PN, PO на прямые AB, BC, CD, DA, BD соответственно. Докажите, что расстояние от P до KN равно расстоянию от O до ML.
Разобрать решение
Если P движется по AC с постоянной скоростью, прямые KN и ML также движутся равномерно, не меняя своих направлений, и скорость точки O тоже постоянна. Поэтому разность расстояний d(P, KN) – d(O, ML) линейно зависит от положения P. При P = A эта разность равна 0 по теореме Симсона (см. задачу 152421), а когда P – точка пересечения AC и BD, она равна 0, поскольку четырёхугольник KLMN описан вокруг окружности с центром P = O (∠NKP = ∠DAC = ∠DBC = ∠PKL в силу вписанности четырёхугольников AKPN и BKPL).
Обсуждение
0Комментариев пока нет.