Доказательство пересечения прямых AA', BB', CC' в треугольнике ABC
Касательные к описанной окружности треугольника ABC в точках A и B пересекаются в точке D. Окружность, проходящая через проекции D на прямые BC, CA, AB, повторно пересекает AB в точке C'. Аналогично строятся точки A', B'. Докажите, что прямые AA', BB', CC' пересекаются в одной точке.
Разобрать решение
Пусть AA1, BB1, CC1 – высоты треугольника ABC. Педальная окружность (описанная окружность педального треугольника) точки D совпадает (см. задачу 156954 а) с педальной окружностью изогонально сопряженной точки D', которая является вершиной параллелограмма ACBD' (см. задачу 152358) Следовательно, C' – проекция D' на AB, то есть точка, симметричная C1 относительно середины AB. Аналогично A', B' симметричны A1 и B1 относительно середин соответствующих сторон. Значит, AA', BB' и CC' пересекаются в точке, изотомически сопряженной ортоцентру треугольника (см. задачу 156922).
Обсуждение
0Комментариев пока нет.