Углы PAB и QAC: олимпиадное задание по планиметрии
На биссектрисе AA1 треугольника ABC выбрана точка X. Прямая BX пересекает сторону AC в точке B1, а прямая CX пересекает сторону AB в точке C1. Отрезки A1B1 и CC1 пересекаются в точке P, а отрезки A1C1 и BB1 пересекаются в точке Q. Докажите, что углы PAC и QAB равны.
Разобрать решение
Лемма. 
Доказательство. Поскольку sin∠APA1 = sin∠APB1 (углы смежные), то 
(по теореме синусов). Второе равенство доказывается аналогично.
Пусть отрезок B1C1 пересекает биссектрису AA1 в точке M. По теореме Чевы 
Заменив 
на 
(AM – биссектриса треугольника B1A1C), получим, что 
то есть 
Отсюда 
Пусть φ = ½ ∠A < π/2. Поскольку функция 
возрастает на интервале (0, φ) (числитель возрастает, а знаменатель убывает и оба положительны), прямые AP и AQ делят (равные φ) углы A1AC и A1AB в равном отношении. Значит, ∠PAC = ∠QAB.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.