Неравенство для положительных чисел: доказательство

  Домножим доказываемое неравенство на a³b³c³d³, получим  a³b³c³ + a³b³d³ + a³c³d³ + b³c³d³ ≤ 1.

  Поскольку неравенство симметричное, можно считать, что  a ≥ b ≥ c ≥ d.  По неравенству Коши  ab(c + d) ≤ (^a+b+c+d/₃)³ = 1.  Следовательно,

a³b³(c + d)³ ≤ 1.

  Значит, достаточно проверить, что  a³b³c³ + a³b³d³ + a³c³d³ + b³c³d³ ≤ a³b³(c + d)³.

  После раскрытия скобок и приведения подобных и сокращения останется очевидное неравенство  a³c²d² + b³c²d² ≤ 3a³b³c + 3a³b³d.