Олимпиадное задание о площадях треугольников
Шесть равносторонних треугольников расположены, как на рисунке.
Докажите, что сумма площадей заштрихованных треугольников равна сумме площадей закрашенных треугольников.
Разобрать решение
Обозначим вершины так, как показано на рисунке. Заметим, что OA = OX, OB = OY, а ∠AOB + ∠XOY = 360° – 60° – 120° = 180°, откуда
cos∠XOY = – cos∠AOB. Поскольку площадь равностороннего треугольника со стороной t равна 
достаточно доказать, что
AB² + XY² = 2(AO² + BO²). По теореме косинусов для треугольников ABO и XYO имеем AB² = OA² + OB² – 2OA·OB cos∠AOB,
XY² = OX² + OY² – 2OX·OY cos∠XOY. Складывая эти два равенства, получаем требуемое.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.