Условие вписанного четырехугольника ABCD и его диагоналей

  Будем считать, что ABCD не является трапецией. Противный случай требует лишь незначительных изменений решения.

  По теореме Ньютона (см задачу 155451) I лежит на отрезке MN. Пусть  λ = MI : IN.  Возьмём на сторонах четырёхугольника такие точки P, Q, R и S, что   AP : PB = CQ : QB = CR : RD = DS : SA = λ.

  Покажем, что I – середина отрезков PR и QS. Для этого поместим единичные массы в точки A и C, а массы λ – в B и D. Две первые массы можно заменить массой 2 в точке M, две вторые – массой 2λ в точке N, следовательно, I – центр всех четырёх масс . С другой стороны, можно заменить массы в A и B на массу  1 + λ  в точке P, а две оставшихся – на такую же массу в точке R.

  Так как I – середина PR, а прямые AB и CD – не параллельные касательные к окружности с центром I, то прямая PR параллельна биссектрисе одного из образованных этими прямыми углов. Аналогично, QS параллельна биссектрисе одного из углов между AD и BC. Следовательно, ABCD – вписанный тогда и только тогда, когда  PR ⊥ QS.  Так как PQRS – параллелограмм (со сторонами, параллельными AC и BD), это равносильно тому, что PQRS – ромб. Но  PQ = QR  ⇔  1(1 + λ)AC = λ(1 + λ)BD  ⇔  λ = AC : BD,  что и требовалось.