Хорошие точки для треугольника ABC: задача по планиметрии
Дан фиксированный треугольник ABC. Пусть D – произвольная точка в плоскости треугольника, не совпадающая с его вершинами. Окружность с центром в D, проходящая через A, пересекает вторично прямые AB и AC в точках Ab и Ac соответственно. Аналогично определяются точки Ba, Bc, Ca и Cb. Точку D назовём хорошей, если точки Ab, Ac, Ba, Bc, Ca и Cb лежат на одной окружности.
Сколько может оказаться точек, хороших для данного треугольника ABC?
Показать ответ
2, 3 или 4.
Разобрать решение
Очевидно, что центр O описанной окружности Ω треугольника ABC – хорошая точка, поскольку в этом случае Ba = Ca = A, Ab = Cb = B и
Ac = Bc = C.
Рассмотрим теперь любую хорошую точку D, отличную от O. Пусть A', B', C' – проекции D на BC, CA, AB соответственно. Точки A и Ab симметричны относительно C', так же как и точки B и Ba. Значит, середины отрезков AB и AbBa также симметричны относительно C'; следовательно, серединный перпендикуляр к AbBa проходит через точку O', симметричную O относительно D (рис. слева). Аналогично, серединные перпендикуляры к AcCa и BcCb также проходят через O', при этом они не параллельны; значит, O' и является центром окружности, проходящей через шесть точек. Заметим, что O' также не совпадает с D.
Каждая из точекD иO' равноудалена отAb иAc. Значит, прямаяDO' является серединным перпендикуляром кAbAc. НоB'C' – средняя линия в треугольникеAAbAc, следовательно, DO'⊥B'C'. Аналогично, DO'⊥A'B', то есть точкиA', B' иC' лежат на одной прямой. Значит,D лежит на Ω, аA'B'C' – еёпрямая Симсона(см. задачу[156934](https://mirolimp.ru/tasks/156934)). Кроме того, эта прямая перпендикулярна прямойDO', то есть радиусуDO (рис. справа). Наоборот, пусть точкаD окружности Ω такова, что её прямая Симсона перпендикулярнаOD. Обращая рассуждения предыдущих двух абзацев, получаем, что точкаO' лежит на серединных перпендикулярах к отрезкамAbBa, BcCb, AcCa, AbAc, BaBc иCaCb, то есть все шесть точек равноудалены отO'. Значит, точкаD – хорошая. Найдём теперь количество хороших точек. Пусть точкаX движется по Ω с постоянной угловой скоростью. Как известно (см.задачу[156941](https://mirolimp.ru/tasks/156941)), прямая Симсона точкиX вращается со вдвое меньшей угловой скоростью в противоположном направлении. Значит, угол между радиусомOX и этой прямой меняется с полуторной скоростью, поэтому на описанной окружности существуют три хороших точки. Добавляя центрO, получаем, что хороших точек не больше четырёх. Осталось учесть, что некоторые из этих точек могут совпасть с вершинами. Поскольку прямая Симсона вершиныA – это высота, опущенная из неё, такое происходит, если радиусOA параллеленBC, то есть если |∠B– ∠C| = 90°. Это может произойти и с двумя вершинами – в треугольнике с углами 30°, 30° и 120°.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.