Олимпиадная задача по планиметрии: доказать углы в треугольнике ABC
Дан треугольник ABC. Обозначим через M середину стороны AC, а через P – середину отрезка CM. Описанная окружность треугольника ABP пересекает сторону BC во внутренней точке Q. Докажите, что ∠ABM = ∠MQP.
Разобрать решение
Решение 1: Проведем через M прямую, параллельную PQ, до пересечения со стороной BC в точке D (см. рис.).
Отрезок PQ является средней линией треугольника MDC и делит сторону DC пополам. Следовательно, отрезок MQ – средняя линия треугольника ADC, а значит, параллелен AD. Поэтому ∠ADM = ∠MQP (как углы с параллельными сторонами).
Осталось заметить, что ∠BAM = 180° – ∠BQP = 180° – ∠BDM, откуда получаем вписанность четырёхугольника ABDM и, как следствие, равенство углов ABM и ADM.
Решение 2: Так как четырёхугольник ABQP вписан, то ∠MAB = ∠PQC (см. рис.). Кроме того, CQ·CB = CP·CA = 4CP2 = CM2.
Следовательно, CM является касательной к описанной окружности треугольника BMQ. Значит, ∠BQM = ∠BMA,
и ∠ABM = 180° – ∠BAM – ∠BMA = 180° – ∠MQB – ∠PQC = ∠MQP.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.