Коэффициенты многочлена: задача от Звонкина
Многочлен P(x) удовлетворяет условиям: P(0) = 1, (P(x))² = 1 + x + x100Q(x), где Q(x) – некий многочлен.
Докажите, что коэффициент при x99 в многочлене (P(x) + 1)100 равен нулю.
Разобрать решение
Будем говорить, что два многочлена сравнимы по модулю x100, если у них совпадают коэффициенты при всех степенях от нулевой до 99-й. Так
(P(x))² ≡ 1 + x (mod x100).
Сумма (P(x) + 1)100 + (P(x) – 1)100 есть многочлен 50-й степени от (P(x))². Значит, она сравнима по модулю x100 с многочленом 50-й степени.
В частности, коэффициент при x99 равен нулю. Это значит, что коэффициенты при x99 в многочленах (P(x) + 1)100 и (P(x) – 1)100 равны по модулю, но отличаются знаком.
Но P(x) – 1 делится на x. Следовательно, (P(x) – 1)100 делится на x100, и коэффициент при x99 равен нулю.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.