Геометрическая задача о точках пересечения окружностей
Пусть O – одна из точек пересечения окружностей ω1 и ω2. Окружность ω с центром O пересекает ω1 в точках A и B, а ω2 – в точках C и D. Пусть X – точка пересечения прямых AC и BD. Докажите, что все такие точки X лежат на одной прямой.
Разобрать решение
Решение 1: Пусть K – вторая точка пересечения ω1 и ω2 (см. рис.). Достаточно показать, что ∠OKX = 90°.
По условию треугольники AOB и COD равнобедренные. Пусть α и β – углы при их основаниях соответственно. Тогда, по свойству вписанных углов, имеем ∠BKC = ∠BKO + ∠CKO = ∠BAO + ∠CDO = α + β. Учитывая, что четырёхугольник ACBD вписанный, имеем:
∠BCK = 180° – ∠XBC – ∠XCB = 180° – ∠CAD – ∠ADB = 180° – ½ (⌣AB + ⌣CD), где ⌣AB и ⌣CD – дуги окружности с центром O, ⌣AB = 180° – 2α, ⌣CD = 180° – 2β. Следовательно, ∠BXC = ∠BKC, то есть четырёхугольник BXKC вписанный. Значит, ∠XKB = ∠XCB = 180° – ACB = 90° – α.
Таким образом, ∠OKX = ∠BKX + ∠BKO = 90°, что и требовалось доказать.
Случай, когда точки C и D меняются местами, рассматривается аналогично.
Решение 2: Пусть OP и OQ – диаметры ω1 и ω2 (см. рис.). Докажем, что точка X лежат на прямой PQ.
При инверсии относительно окружности ω окружность ω1 перейдёт в прямую AB, а ω2 – в CD, следовательно, точка K перейдёт в точку S пересечения AB и CD. Кроме того, PQ ⊥ OS, то есть PQ – поляра точки S относительно окружности ω. С другой стороны, X (как точка пересечения AC и BD) также лежит на поляре точки S. Следовательно, X принадлежит PQ.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.