Олимпиадная задача Каповичей: параллелограмм из пересечений окружносте

Пусть O₁, O₂, O₃, O₄ — центры описанных окружностей треугольников AMN, AMB, BMN, CND соответственно. Поскольку четырёхугольники O₄NO₃C, NO₁MO₃, O₁AO₂M — ромбы, то

$\displaystyle \overrightarrow{O_{4}C}$ = $\displaystyle \overrightarrow{NO_{3}}$ = $\displaystyle \overrightarrow{O_{1}M}$ = $\displaystyle \overrightarrow{AO_{2}}$.

ПосколькуO₄DO₁N,NO₁MO₃,O₃MO₂B— ромбы, то

$\displaystyle \overrightarrow{O_{4}D}$ = $\displaystyle \overrightarrow{NO_{1}}$ = $\displaystyle \overrightarrow{O_{3}M}$ = $\displaystyle \overrightarrow{BO_{2}}$.

Таким образом,

$\displaystyle \overrightarrow{O_{4}C}$ = $\displaystyle \overrightarrow{AO_{2}}$, $\displaystyle \overrightarrow{O_{4}D}$ = $\displaystyle \overrightarrow{BO_{2}}$.

Следовательно,

$\displaystyle \overrightarrow{CD}$ = $\displaystyle \overrightarrow{O_{4}D}$ - $\displaystyle \overrightarrow{O_{4}C}$ = $\displaystyle \overrightarrow{BO_{2}}$ - $\displaystyle \overrightarrow{AO_{2}}$ = $\displaystyle \overrightarrow{BA}$,

т.е.ABCD— параллелограмм.