Олимпиадная задача Каповичей: параллелограмм из пересечений окружносте
Нет ответа
Задача
Четыре окружности радиуса R пересекаются по три в точках M и N, и по две в точках A, B, C и D. Докажите что ABCD — параллелограмм.
Решение
Пусть O1, O2, O3, O4 — центры описанных окружностей треугольников AMN, AMB, BMN, CND соответственно. Поскольку четырёхугольники O4NO3C, NO1MO3, O1AO2M — ромбы, то
$\displaystyle \overrightarrow{O_{4}C}$ = $\displaystyle \overrightarrow{NO_{3}}$ = $\displaystyle \overrightarrow{O_{1}M}$ = $\displaystyle \overrightarrow{AO_{2}}$.
ПосколькуO4DO1N,NO1MO3,O3MO2B— ромбы, то
$\displaystyle \overrightarrow{O_{4}D}$ = $\displaystyle \overrightarrow{NO_{1}}$ = $\displaystyle \overrightarrow{O_{3}M}$ = $\displaystyle \overrightarrow{BO_{2}}$.
Таким образом,
$\displaystyle \overrightarrow{O_{4}C}$ = $\displaystyle \overrightarrow{AO_{2}}$, $\displaystyle \overrightarrow{O_{4}D}$ = $\displaystyle \overrightarrow{BO_{2}}$.
Следовательно,
$\displaystyle \overrightarrow{CD}$ = $\displaystyle \overrightarrow{O_{4}D}$ - $\displaystyle \overrightarrow{O_{4}C}$ = $\displaystyle \overrightarrow{BO_{2}}$ - $\displaystyle \overrightarrow{AO_{2}}$ = $\displaystyle \overrightarrow{BA}$,
т.е.ABCD— параллелограмм.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет