Олимпиадная задача по планиметрии – треугольник и радиусы (Турушбаев Б

Пусть S — площадь треугольника, p — его полупериметр. Тогда

$\displaystyle {\frac{abc}{4R}}$ = S, pr = S.

Поэтомуr₁=p. Пусть вневписанная окружность радиуса r₁ с центром O касается стороны AB треугольника ABC в точке K, а продолжений сторон CA и CB — в точках N и M соответственно. Тогда CM = CN = p, а прямоугольный треугольник COM — равнобедренный. Поэтому $\angle$MCO = 45^o. Следовательно,

$\displaystyle \angle$BCA = $\displaystyle \angle$MCN = 2$\displaystyle \angle$MCO = 90^o.