Олимпиадная задача по планиметрии – треугольник и радиусы (Турушбаев Б
Нет ответа
Задача
Докажите, что если abc = 4Rrr1, где a, b, c — стороны треугольника, R, r, r1 — радиусы описанной, вписанной и одной из вневписанных окружностей, то треугольник прямоугольный.
Решение
Пусть S — площадь треугольника, p — его полупериметр. Тогда
$\displaystyle {\frac{abc}{4R}}$ = S, pr = S.
Поэтомуr1=p.
Пусть вневписанная окружность радиуса r1 с центром O касается
стороны AB треугольника ABC в точке K, а продолжений сторон CA и
CB — в точках N и M соответственно. Тогда
CM = CN = p, а
прямоугольный треугольник COM — равнобедренный. Поэтому
$\angle$MCO = 45o. Следовательно,
$\displaystyle \angle$BCA = $\displaystyle \angle$MCN = 2$\displaystyle \angle$MCO = 90o.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет