Олимпиадная задача по планиметрии: окружность и медианы в треугольнике

Пусть окружность касается сторон a и b треугольника и проведённых к ним медиан m_a и m_b. Поскольку суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны между собой, то

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$a + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$m_b = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$b + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$m_a.    (1)

С другой стороны, указанная окружность вписана в равновеликие треугольники (один со сторонамиaиm_b, второй —bиm_a). Поэтому периметры этих треугольников равны, т.е.

a + m_b + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$b = b + m_a + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$a,

или

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$a + m_b = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$b + m_a.             (2)

Из равенств (1) и (2) следует, чтоa=b.