Олимпиадная задача по планиметрии: окружность и медианы в треугольнике
Нет ответа
Задача
Окружность касается двух сторон треугольника и двух его медиан. Докажите, что этот треугольник равнобедренный.
Решение
Пусть окружность касается сторон a и b треугольника и проведённых к ним медиан ma и mb. Поскольку суммы противоположных сторон описанного четырёхугольника равны между собой, то
$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$a + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$mb = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$b + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ma. (1)
С другой стороны, указанная окружность вписана в равновеликие
треугольники (один со сторонамиaиmb, второй —bиma).
Поэтому периметры этих треугольников равны, т.е.
a + mb + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$b = b + ma + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$a,
или
$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$a + mb = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$b + ma. (2)
Из равенств (1) и (2) следует, чтоa=b.
Ответ
Ответ задачи отсутствует
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет