Олимпиадная задача по планиметрии про точки A₁, B₁ и биссектрису угла

Поскольку биссектриса есть ось симметрии угла, то точка A₁ принадлежит лучу OB, а точка B₁ — лучу OA,

OA₁ = OA, OB₁ = OB.

Из подобия треугольников AOB и COD следует, что

${\frac{AO}{OC}}$ = ${\frac{BO}{OD}}$, или AO ^. OD = BO ^. OC. Следовательно,

A₁O ^. OD = AO ^. OD = BO ^. OC = B₁O ^. OC.

Поэтому точкиD,B₁,A₁иCлежат на одной окружности. Следовательно,

$\displaystyle \angle$ACA₁ = $\displaystyle \angle$B₁CA₁ = $\displaystyle \angle$B₁DA₁ = $\displaystyle \angle$B₁DB.