Олимпиадная геометрическая задача Прасолова: равносторонний треугольни

Проведем через точку M прямые, параллельные сторонам треугольника, и обозначим точки пересечения этих прямых со сторонами треугольника, как показано на рисунке. Тогда K₁, K₂, K₃ -- середины отрезков A₁A₂, B₁B₂, C₁C₂ соответственно. Поэтому

$\displaystyle \overrightarrow{MK_{1}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$($\displaystyle \overrightarrow{MA_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MA_{2}}$),  $\displaystyle \overrightarrow{MK_{2}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$($\displaystyle \overrightarrow{MB_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MB_{2}}$),  $\displaystyle \overrightarrow{MK_{3}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$($\displaystyle \overrightarrow{MC_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MC_{2}}$).

Кроме того,

$\displaystyle \overrightarrow{MC_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MB_{2}}$ = $\displaystyle \overrightarrow{MA}$,  $\displaystyle \overrightarrow{MC_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MA_{1}}$ = $\displaystyle \overrightarrow{MB}$,  $\displaystyle \overrightarrow{MA_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MB_{1}}$ = $\displaystyle \overrightarrow{MC}$.

Тогда

$\displaystyle \overrightarrow{MK_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MK_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MK_{3}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$($\displaystyle \overrightarrow{MA_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MA_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MB_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MB_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MC_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MC_{2}}$) =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left(\vphantom{(\overrightarrow{MC_{1}} + \overrightarrow{MB_{2}... ...htarrow{MA_{1}}) + (\overrightarrow{MA_{2}} + \overrightarrow{MB_{1}})}\right.$($\displaystyle \overrightarrow{MC_{1}}$+$\displaystyle \overrightarrow{MB_{2}}$) + ($\displaystyle \overrightarrow{MC_{2}}$+$\displaystyle \overrightarrow{MA_{1}}$) + ($\displaystyle \overrightarrow{MA_{2}}$+$\displaystyle \overrightarrow{MB_{1}}$)$\displaystyle \left.\vphantom{(\overrightarrow{MC_{1}} + \overrightarrow{MB_{2}... ...htarrow{MA_{1}}) + (\overrightarrow{MA_{2}} + \overrightarrow{MB_{1}})}\right)$ =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$($\displaystyle \overrightarrow{MA}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MB}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MC}$) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ^. 3 ^. $\displaystyle \overrightarrow{MO}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$$\displaystyle \overrightarrow{MO}$.