Олимпиадная задача: параллелограмм ABCD и вписанная окружность

Заметим, что

$\displaystyle \angle$C = 180^o - 120^o = 60^o.

ПустьK,PиM— точки касания вписанной окружности со сторонами соответственноCD,BCиBDтреугольникаDBC,O— центр этой окружности. ОбозначимDK=DM=x,BP=BM=y. Поскольку

CK = OKctg30^o = $\displaystyle \sqrt{3}$ ^. $\displaystyle \sqrt{3}$ = 3,

то

CD = x + 3, BC = y + 3, BD = x + y.

Из условия задачи следует, чтоCD+BC= 13. По теореме косинусов из треугольникаBCDнаходим, что

BD² = BC² + CD² - BC ^. CD.

Таким образом, имеем систему уравнений

$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll} x + y = 7\\ (x + y)^{2}= (x + 3)^{2}+ (y + 3)^{2} - (x + 3)(y + 3).\\ \end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll} x + y = 7\\ (x + y)^{2}= (x + 3)^{2}+ (y + 3)^{2} - (x + 3)(y + 3).\\ \end{array}$

Условию задачи удовлетворяет её решениеx= 2,y= 5. Следовательно,AB=CD= 5,AD=BC= 8.