Олимпиадная задача: параллелограмм ABCD и вписанная окружность
Задача
Периметр параллелограмма ABCD равен 26. Угол ABC равен 120o. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCD, равен $\sqrt{3}$. Найдите стороны параллелограмма, если известно, что сторона AD больше стороны AB.
Решение
Заметим, что
$\displaystyle \angle$C = 180o - 120o = 60o.
ПустьK,PиM— точки касания вписанной окружности со сторонами
соответственноCD,BCиBDтреугольникаDBC,O— центр этой окружности. ОбозначимDK=DM=x,BP=BM=y.
Поскольку
CK = OKctg30o = $\displaystyle \sqrt{3}$ . $\displaystyle \sqrt{3}$ = 3,
то
CD = x + 3, BC = y + 3, BD = x + y.
Из условия задачи следует, чтоCD+BC= 13. По теореме
косинусов из треугольникаBCDнаходим, что
BD2 = BC2 + CD2 - BC . CD.
Таким образом, имеем систему уравнений
$\displaystyle \left\{\vphantom{ \begin{array}{lll}
x + y = 7\\
(x + y)^{2}= (x + 3)^{2}+ (y + 3)^{2} - (x + 3)(y + 3).\\
\end{array} }\right.$$\displaystyle \begin{array}{lll}
x + y = 7\\
(x + y)^{2}= (x + 3)^{2}+ (y + 3)^{2} - (x + 3)(y + 3).\\
\end{array}$
Условию задачи удовлетворяет её решениеx= 2,y= 5.
Следовательно,AB=CD= 5,AD=BC= 8.
Ответ
8 и 5.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет