Точка M на стороне треугольника ABC — олимпиадная задача Долматова

Пусть O и O₁ — центры описанных окружностей треугольников ABM и CBM. Общей частью указанных кругов является объединение двух сегментов с общей хордой BM.

Поскольку

$\displaystyle \angle$BOM = 2$\displaystyle \angle$BAC, $\displaystyle \angle$BO₁M = 2$\displaystyle \angle$BCA,

то величины угловBOMиBO₁Mпостоянны. Поэтому площадь каждого из сегментов тем меньше, чем меньше хордаBM. Следовательно, площадь общей части кругов минимальна, когдаBM— высота треугольникаABC.