Точка M на стороне треугольника ABC — олимпиадная задача Долматова
Задача
Точка M лежит на стороне AC остроугольного треугольника ABC. Вокруг треугольников ABM и CBM описываются окружности. При каком положении точки M площадь общей части ограниченных ими кругов будет наименьшей?
Решение
Пусть O и O1 — центры описанных окружностей треугольников ABM и CBM. Общей частью указанных кругов является объединение двух сегментов с общей хордой BM.
Поскольку
$\displaystyle \angle$BOM = 2$\displaystyle \angle$BAC, $\displaystyle \angle$BO1M = 2$\displaystyle \angle$BCA,
то величины угловBOMиBO1Mпостоянны. Поэтому площадь каждого
из сегментов тем меньше, чем меньше хордаBM.
Следовательно, площадь общей части кругов минимальна, когдаBM— высота треугольникаABC.
Ответ
Точка M — основание высоты треугольника ABC.
Чтобы оставлять комментарии, войдите или зарегистрируйтесь
Комментариев нет