Олимпиадная задача о равновеликих фигурах на рисунке с треугольниками

а) Введём обозначения, как показано на рисунке 1. Заметим, что треугольники AA₀C₀ и AA₀C₁ равновелики (каждый из них составлен из треугольника AA₀B₀ и одного из синих треугольников). Эти треугольники имеют общее основание AA₀, поэтому их вершины C₀ и C₁ равноудалены от прямой AA₀, т.е. прямые AA₀ и C₁C₀ параллельны. Аналогично BB₀ || A₁A₀ и

CC₀ || B₁B₀.

Рассмотрим трапецию AA₀C₀C₁ (рис.2). Её диагонали пересекаются в точке B₀, а продолжения боковых сторон — в точке B. Эти точки лежат на прямой, соединяющей середины D и E её оснований AA₀ и C₁C₀, а поскольку эта прямая параллельна A₁A₀, точка B₀ — середина отрезка A₁A. Поэтому S(AB₀C) = S(B₀A₁C). Следовательно, площади четырёхугольников AB₀A₀B₁ и CA₀C₀A₁ равны. Аналогично докажем, что и третий красный четырёхугольник BC₀B₀C₁ имеет такую же площадь.

б) Чтобы составить уравнение для нахождения искомой площади s, выразим двумя способами отношение ${\frac{BC_{1}}{C_{1}A}}$:

$\displaystyle {\frac{BC_{1}}{C_{1}A}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{\Delta CBC_{1}}}{S_{\Delta CC_{1}A}}}$ = $\displaystyle {\frac{2s+2}{s+2}}$ = $\displaystyle {\frac{S_{\Delta B_{0}BC_{1}}}{S_{\Delta B_{0}CA_{1}}}}$ = $\displaystyle {\frac{\frac{s}{2}}{1}}$ = $\displaystyle {\frac{s}{2}}$.

Итак,sудовлетворяет уравнению

s² - 2s - 4 = 0,

из которого находим, чтоs= 1 +$\sqrt{5}$.