Доказательство соотношения площадей треугольников BKF и ABC — олимпиад

Первый способ. Проведем EF — среднюю линию треугольника ADC (см. рис. а). Тогда , так как высоты этих треугольников, проведенные из вершины F, совпадают. Кроме того, так как (EF) || (AC), то длины перпендикуляров, опущенных из точки В на прямые EF и AC относятся, как |BE| : |BK|, поэтому, . Перемножив почленно полученные равенства, имеем: , ч. т. д.Второй способ. Пусть a, c, f и d — длины перпендикуляров, опущенных на прямую BЕ из точек A, C, F и D соответственно (см. рис. б). Тогда c = d; . Следовательно, , ч. т. д.

Рис. а	Рис. б	Рис. в

Третий способ. Проведем отрезки BD и DK (см. рис. в). Так как медиана треугольника делит его площадь пополам, то: 2S_ΔBKF = 2(S_ABCD — S_ΔBCE — S_ΔABF — S_ΔFKD — S_ΔDKE) = 2S_ABCD— S_ΔBCD — S_ΔABD — S_ΔAKD — S_ΔDKC = S_ABCD — S_ΔACD = S_ΔABC, ч. т. д.Четвертый способ. Проведем отрезки BD и EF (см. рис. а или рис. в). Так как медиана треугольника делит его площадь пополам, то S_ΔBСЕ = S_ΔBСD и S_ΔABF = S_ΔABD. Кроме того, так как EF — средняя линия треугольника ADC, то S_ΔDEF = S_ΔEFK = S_ΔACD. Следовательно, S_ΔBKF = S_ABCD — S_ΔABF — S_ΔBCE — S_DFKE = (S_ΔABD + S_ΔBCD + S_ΔACD) = S_ΔABC, ч. т. д.