Кодовый замок и комбинации чисел — олимпиадная задача по делимости
Комбинация (x, y, z) трёх натуральных чисел, лежащих в диапазоне от 10 до 20 включительно, является отпирающей для кодового замка, если 3x² – y² – 7z = 99. Найдите все отпирающие комбинации.
Показать ответ
(12, 16, 11), (13, 17, 17), (13, 18, 12).
Разобрать решение
Заметим, что 3x² – y² ≡ 1 (mod 7). Таких пар остатков 8: (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 5), (5, 2), (5, 5), (6, 3), (6, 4). Учитывая диапазон значений x и y, получаем 19 возможных пар: (15, 10), (15, 17), (16, 16), (16, 12), (16, 19), (12, 16), (19, 16), (12, 12), (12, 19), (19, 12), (19, 19), (13, 10), (13, 17), (20, 10), (20, 17),
(13, 11), (13, 18), (20, 11), (20, 18). Для каждой пары (x, y) находим соответствующее значение z. В диапазон [10, 20] попадают только три варианта:
(12, 16, 11), (13, 17, 17), (13, 18, 12).
Обсуждение
0Комментариев пока нет.