Олимпиадная задача о фишках на круге и делимости для 7–9 классов

Занумеруем сектора по кругу числами от 1 до 6 и для любой расстановки фишек рассмотрим сумму S номеров секторов, в которых стоят данные нам шесть фишек (с учётом кратности). Очевидно, что при сдвиге фишки в соседний сектор соответствующее ей слагаемое в сумме S меняет чётность. Значит, если сдвигаются одновременно две фишки, то чётность величины S не меняется. Для начальной расстановки  S = 21.  Если же все фишки находятся в одном секторе с номером А, то  S = 6А  – это чётное число.