Задание олимпиады по теории чисел: квадраты и остатки при делении
Докажите, что среди 51 целого числа найдутся два, квадраты которых дают одинаковые остатки при делении на 100.
Разобрать решение
Разобьём все остатки от деления на 100 на 50 групп: {1, 99}, {2, 98}, ..., {49, 51}, {0, 50}. Поскольку чисел больше 50, найдутся два числа x и y, остатки которых попадут в одну группу. Если это – одна из первых 49 групп, то либо x – y, либо x + y делится на 100. Если это последняя группа, то и x – y и
x + y кратны 10. В любом случае x² – y² делится на 100.
Обсуждение
0Комментариев пока нет.
Чтобы оставить комментарий, войдите в аккаунт.