Задача № 167297
Дан треугольник . Пусть – центр его вписанной окружности, – такая точка на стороне , что угол прямой, – точка, симметричная точке относительно вершины . Докажите, что точки , , , лежат на одной окружности.
Олимпиадные задачи по математике — класс: 3–8; автор: Кухарчук И.
Найдите задачу для себя, урока или математического кружка.
Задача № 167237
Даны две окружности и , пересекающиеся в точке , и прямая . Пусть – произвольная хорда окружности , параллельная , а и – вторые точки пересечения прямых и с . Найдите геометрическое место точек пересечения прямых и .
Задача № 167212
На окружности зафиксирована точка . Хорды окружности выбираются так, что проходят через фиксированную точку . Докажите, что окружности 9 точек треугольников касаются фиксированной окружности, не зависящей от выбора .
Задача № 167210
Дан вписанный четырехугольник . На сторонах и взяты точки и так, что и . Пусть – середина . Докажите, что угол прямой.
Задача № 167161
Даны две концентрические окружности и . Хорда окружности касается . Внутри меньшего сегмента круга с границей взята произвольная точка . Касательные из к окружности пересекают большую дугу окружности в точках и . Отрезки и пересекаются в точке . Докажите, что отрезок делит отрезок на две равные части.
Задача № 167124
Пусть высоты остроугольного треугольника пересекаются в точке . Окружность, описанная около треугольника , пересекает отрезки и в точках и . Прямая пересекает в . На прямой взята точка такая, что . Докажите, что прямая перпендикулярна одной из медиан треугольника .
Задача № 167117
Дана равнобокая трапеция (). На описанной около неё окружности выбирается точка так, что отрезок пересекает основание в точке . Пусть – середина . Докажите, что длина диагонали трапеции не превосходит суммы расстояний от середин её боковых сторон до любой точки прямой .
Задача № 167110
Выпуклый четырехугольник таков, что и . Пусть – такая точка, что – параллелограмм. Докажите, что .
Задача № 167075
На диагонали квадрата взята точка . Пусть – точка пересечения высот треугольника , – середина и – середина . Докажите, что прямые и взаимно перпендикулярны.
Задача № 166967
В выпуклом пятиугольнике равны углы , , , и . Докажите, что середина лежит на .
Задача № 166964
В остроугольном треугольнике высоты и пересекают стороны и в точках и . Точки и симметричны относительно точкам и . Докажите, что расстояние между центрами описанных окружностей треугольников и равно .
Задача № 166945
В параллелограмме точки и выбираются на сторонах и соответственно так, что . Пусть – середина , а пересекает в точке . Докажите, что углы и равны.
Задача № 166942
В угол вписаны три окружности , , (радиус наименьший, а радиус наибольший), притом касается и в точках и соответственно. Пусть – касательная в точке к . Рассмотрим все окружности , касающиеся и . Найдите геометрическое место точек пересечения общих внутренних касательных к парам окружностей и .
Задача № 166937
Дан прямоугольный треугольник с прямым углом . Прямая проходящая через середину его высоты и вершину пересекает в точке . Пусть – середина , а – точка на отрезке такая, что . Известно, что . Найдите периметр треугольника .
Задача № 166769
В треугольнике , – высоты, – произвольная точка на стороне . Точка на прямой такова, что , а точка на прямой такова, что . Докажите, что четырехугольник вписанный.
Задача № 166673
В треугольнике – центр вписанной окружности, – произвольная точка на стороне , серединный перпендикуляр к отрезку пресекает прямые и в точках и соответственно. Найдите геометрическое место ортоцентров треугольников .