Задача № 216993
Куб с ребром n составлен из белых и чёрных кубиков с ребром 1 таким образом, что каждый белый кубик имеет общую грань ровно с тремя чёрными, а каждый чёрный – ровно с тремя белыми. При каких n это возможно?
Олимпиадные задачи из источника «Турнир городов» - сложность 2 с решениями
Найдите задачу для урока, кружка или самостоятельной работы.
Задача № 216884
Через вершину А остроугольного треугольника АВС проведены касательная АК к его описанной окружности, а также биссектрисы АN и AM внутреннего и внешнего углов при вершине А (точки М, K и N лежат на прямой ВС). Докажите, что MK = KN.
Задача № 216832
а) Внутри окружности находится некоторая точка A. Через A провели две перпендикулярные прямые, которые пересекли окружность в четырёх точках. Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора таких двух прямых. б) Внутри окружности находится правильный 2n-угольник (n > 2), его центр A не обязательно совпадает с центром окружности. Лучи, выпущенные из A в вершины 2n-угольника, высекают 2n точек на окружности. 2n-угольник повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 2n новых точек. Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 2n точек.
Задача № 216827
В числе не меньше 10 разрядов, в его записи используются только две разные цифры, причём одинаковые цифры не стоят рядом. На какую наибольшую степень двойки может делиться такое число?
Задача № 216823
Даны выпуклый многогранник и сфера, которая пересекает каждое ребро многогранника в двух точках. Точки пересечения со сферой делят каждое ребро на три равных отрезка. Обязательно ли тогда все грани многогранника: а) равные многоугольники; б) правильные многоугольники?
Задача № 216821
В классе 20 школьников. Было устроено несколько экскурсий, в каждой из которых участвовал хотя бы один школьник этого класса. Докажите, что найдётся такая экскурсия, что каждый из участвовавших в ней школьников принял участие по меньшей мере в 1/20 всех экскурсий.
Задача № 216820
Окружность касается сторон AB, BC, CD параллелограмма ABCD в точках K, L, M соответственно. Докажите, что прямая KL делит пополам высоту параллелограмма, опущенную из вершины C на AB.
Задача № 216819
Таблица 10×10 заполняется по правилам игры "Сапёр": в некоторые клетки ставят по мине, а в каждую из остальных клеток записывают количество мин в клетках, соседних с данной клеткой (по стороне или вершине). Может ли увеличиться сумма всех чисел в таблице, если все "старые" мины убрать, во все ранее свободные от мин клетки поставить мины, после чего заново записать числа по правилам?
Задача № 216818
Пусть C(n) – количество различных простых делителей числа n. (Например, C(10) = 2, C(11) = 1, C(12) = 2.) Конечно или бесконечно число таких пар натуральных чисел (a, b), что a ≠ b и C(a + b) = C(a) + C(b)?
Задача № 216817
Про группу из пяти человек известно, что: Алеша на 1 год старше Алексеева, Боря на 2 года старше Борисова, Вася на 3 года старше Васильева, Гриша на 4 года старше Григорьева, а еще в этой группе есть Дима и Дмитриев.Кто старше и на сколько: Дима или Дмитриев?
Задача № 216742
Натуральные числа а, b, c и d таковы, что ab = cd. Может ли число a + b + c + d оказаться простым?
Задача № 216715
Четырёхугольник ABCD без параллельных сторон вписан в окружность. Для каждой пары касающихся окружностей, одна из которых имеет хорду AB, а другая – хорду CD, отметим их точку касания X. Докажите, что все такие точки X лежат на одной окружности.
Задача № 216714
На плоскости нарисовали кривые y = cos x и x = 100 cos(100y) и отметили все точки их пересечения, координаты которых положительны. Пусть a – сумма абсцисс, а b – сумма ординат этих точек. Найдите a/b.
Задача № 216713
Дана клетчатая полоска из 2n клеток, пронумерованных слева направо следующим образом:1, 2, 3, ..., n, –n, ..., –2, –1 По этой полоске перемещают фишку, каждым ходом сдвигая её на то число клеток, которое указано в текущей клетке (вправо, если число положительно, и влево, если отрицательно). Известно, что фишка, начав с любой клетки, обойдёт все клетки полоски. Докажите, что число 2n + 1 простое.
Задача № 216712
Из каждой вершины выпуклого многогранника выходят ровно три ребра, причём хотя бы два из этих трёх рёбер равны. Докажите, что многогранник имеет хотя бы три равных ребра.
Задача № 216710
В выражении 10 : 9 : 8 : 7 : 6 : 5 : 4 : 3 : 2 : 1 расставили скобки так, что в результате вычислений получилось целое число. Каким а) наибольшим; б) наименьшим может быть это число?
Задача № 216709
Дан параллелограмм ABCD. Вписанные окружности треугольников ABC и ADC касаются диагонали AC в точках X и Y. Вписанные окружности треугольников BCD и BAD касаются диагонали BD в точках Z и T. Докажите, что если все точки X, Y, Z, T различны, то они являются вершинами прямоугольника.
Задача № 216708
Существует ли натуральное число, у которого нечётное количество чётных натуральных делителей и чётное количество нечётных?
Задача № 216707
Под одной из клеток доски 8×8 зарыт клад. Под каждой из остальных зарыта табличка, в которой указано, за какое наименьшее число шагов можно добраться из этой клетки до клада (одним шагом можно перейти из клетки в соседнюю по стороне клетку). Какое наименьшее число клеток надо перекопать, чтобы наверняка достать клад?
Задача № 216691
В клетках таблицы n×n стоят плюсы и минусы. За один ход разрешается в произвольной строке или в произвольном столбце поменять все знаки на противоположные. Известно, что из начальной расстановки можно получить такую, при которой во всех ячейках стоят плюсы. Докажите, что этого можно добиться не более чем за n ходов.
Задача № 216685
В ряд лежит чётное число груш. Массы любых двух соседних груш отличаются не более чем на 1 г. Докажите, что можно все груши разложить по две в одинаковые пакеты и выложить пакеты в ряд так, чтобы массы любых двух соседних пакетов тоже отличались не более чем на 1 г.
Задача № 216683
На доске написано несколько натуральных чисел. Сумма любых двух из них – натуральная степень двойки. Какое наибольшее число различных может быть среди чисел на доске?
Задача № 216681
Имеются 100 камней разного веса (одинаковых нет), к каждому приклеена этикетка с указанием его веса. Хулиган Гриша хочет переклеить этикетки так, чтобы общий вес любого набора с числом камней от 1 до 99 отличался от суммы весов, указанных на этикетках из этого набора. Всегда ли он может это сделать?
Задача № 216678
На доске 8×8 стоят 8 не бьющих друг друга ладей. Все клетки доски распределяются во владения этих ладей по следующему правилу. Клетка, на которой стоит ладья, отдаётся этой ладье. Клетку, которую бьют две ладьи, получает та из ладей, которая ближе к этой клетке; если же эти две ладьи равноудалены от клетки, то каждая из них получает по полклетки. Докажите, что площади владений всех ладей одинаковы.
Задача № 216674
На плоскости отмечены 100 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Саша разбивает точки на пары, после чего соединяет точки в каждой из пар отрезком. Всегда ли он может это сделать так, чтобы каждые два отрезка пересекались?
1–25 из 846